Sans doute que j’ai déjà perdu les plus allergiques aux maths. Mais en réalité, pas besoin d’être Cédric Villani pour comprendre pourquoi, in fine, c’est logique.

Certes, notre esprit cartésien s'attend à une distribution uniforme : chaque chiffre devrait apparaître environ 11% du temps (en comptant le 0). Pourtant, la réalité est tout autre.

L’explication, c’est l’échelle logarithmique de la croissance. Et même si les mots font peur, c’est pas si compliqué.

Pour comprendre cette distribution, imaginez une entreprise qui croît de 10% par an.

• Lorsqu'elle démarre avec 100K€, son chiffre d'affaires commencera par le chiffre 1 ;
• Avec 10% de croissance annuelle, il faudra attendre 8 ans⁴ pour que son chiffre d'affaires atteigne 200K€ et commence par le chiffre 2 ;
• Mais une fois ce seuil franchi, il ne faudra que 4 ans pour passer à 300K€ (et donc à un chiffre commençant par 3) ;
• Et seulement 3 ans pour atteindre 400K€. etc.

En d'autres termes, si nous suivons la croissance de cette entreprise sur 30 ans, son chiffre d'affaires commencera par 1 pendant 8 ans, par 2 pendant 4 ans, par 3 pendant 3 ans, et ainsi de suite. Quand il atteindra 900K€, il ne restera qu'un an avant qu'il ne passe à 1M€ et recommence le cycle avec 1 comme premier chiffre.

C'est le principe de l'échelle logarithmique :

• Pour passer de 1 à 2, il faut doubler (augmentation de 100%) ;
• Pour passer de 2 à 3, il faut augmenter de 50% ;
• Pour passer de 3 à 4, il faut augmenter de 33% ;
• Pour passer de 8 à 9, il faut augmenter de seulement 12,5% ;

Cette propriété s'observe dans toute suite de nombres qui suit une croissance proportionnelle. Prenez une simple suite où chaque nombre est le double du précédent : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024...

Sur ces 11 nombres, 4 commencent par 1 (soit 36%), 2 commencent par 2 (soit 18%), 1 commence par 3, 1 par 4, 1 par 5, 1 par 6, et 1 par 8. On retrouve approximativement la distribution de Benford.

Cette loi se vérifie dans un nombre assez étonnant de domaines :

• Les données financières : bilans comptables, cours de bourse, montants de transactions ;
• Les données démographiques : populations des villes, taux de natalité ;
• Les données physiques : débits des fleuves, surfaces des lacs, hauteurs des montagnes ;
• Les constantes scientifiques : masses atomiques, constantes physiques ;
• Les données économiques : PIB des pays, inflation, indices boursiers.

Mais cela nécessite quand même quelques règles et amène des limitations pour quelques exceptions :

• Les nombres attribués arbitrairement : numéros de téléphone, codes postaux, numéros de sécurité sociale ;
• Les données contraintes par des limites humaines : tailles et poids des adultes (qui varient dans des plages restreintes) ;
• Les données trop homogènes ou trop limitées en amplitude.

Et c’est justement l’incapacité des humains à générer du vrai aléatoire, ou à trop reste dans une répartition uniforme qui permet de détecter une fraude.

Prenons l’exemple d’une personne malhonnête qui invente des chiffres : elle a tendance à répartir les premiers chiffres de manière plus uniforme qu'ils ne le seraient naturellement. Au lieu d'avoir 30% de chiffres commençant par 1 et seulement 4,6% par 9, les données falsifiées montrent souvent une distribution plus équilibrée.

De même, les fraudeurs évitent souvent les chiffres ronds et privilégient les chiffres comme 53, 87, ou 29, qui semblent plus aléatoires à l'esprit humain. Par cette tentative même de rendre les chiffres plus crédibles, ils créent des anomalies statistiques détectables, avec une simple loi de Benford qui fonctionne sans même comprendre le contexte des chiffres analysés.

Et les autorités ont fini par le comprendre.