Washington, 1881.
Un homme se penche sur un ouvrage à la reliure usée dans une salle de la bibliothèque navale américaine. Simon Newcomb, astronome et mathématicien, manipule pour la énième fois les tables de logarithmes dont les scientifiques de l'époque ne peuvent se passer pour leurs calculs complexes. C'est alors qu'il remarque quelque chose d'étrange : les premières pages du livre sont nettement plus abîmées que les dernières. Les tables des logarithmes commençant par le chiffre 1 sont noircies, cornées, presque en lambeaux. Celles des logarithmes commençant par 8 ou 9 semblent presque neuves.
Un détail insignifiant ? Pas pour cet esprit rigoureux. Né dans la pauvreté en Nouvelle-Écosse, autodidacte devenu l'un des plus éminents scientifiques américains de son temps, Newcomb a l'habitude d'interroger les anomalies. Cette observation le conduit à une conclusion surprenante : les nombres commençant par 1 semblent tout simplement plus fréquents dans la nature que ceux commençant par 8 ou 9.
Dans un court article publié dans l'American Journal of Mathematics, il note :
« Les dix chiffres n'apparaissent pas avec la même fréquence... Les pages contenant les logarithmes des nombres commençant par 1 sont beaucoup plus usées que les autres. »
Puis, le silence.
L'observation de Newcomb tombe dans l'oubli. Personne ne semble s'intéresser à ce phénomène curieux. Après tout, selon toute logique, les chiffres devraient apparaître avec une fréquence identique, n'est-ce pas ? Dans un monde aléatoire, on s'attendrait à une répartition équilibrée. Le 1 devrait apparaître en première position dans environ 11,1% des cas, tout comme le 2, le 3, et ainsi de suite jusqu'au 9.
New York, 1938.
Cinquante-sept ans plus tard, au laboratoire de recherche de la General Electric, un physicien du nom de Frank Benford redécouvre par hasard le même phénomène. Comme Newcomb, il manipule fréquemment des tables de logarithmes et remarque leur usure inégale. Mais contrairement à son prédécesseur, Benford décide d'aller plus loin.
Il entame alors un travail titanesque, presque obsessionnel. Il compile 20’229 nombres issus de sources profondément différentes : surfaces de rivières, populations de villes, constantes physiques, adresses, numéros issus des pages sportives des journaux. Dans chaque cas, il analyse méticuleusement la fréquence d'apparition du premier chiffre.
Les résultats confirment son intuition : le chiffre 1 apparaît en première position dans environ 30% des nombres, le 2 dans 17,6%, puis les fréquences diminuent progressivement jusqu'au 9, qui n'apparaît qu'à 4,6%. Une distribution précise, mathématique, prévisible.
Visualisation de la loi de Benford sur le premier chiffre
Ce n'est pas une simple curiosité, mais une loi mathématique robuste. Benford formalise ce qu'on appellera désormais la « loi de Benford » (au grand dam posthume de Newcomb) : la probabilité qu'un nombre tiré d'une source naturelle commence par le chiffre d est égale à log₁₀(1 + 1/d)2.
QG de Zero Bullshit, 2025.
Encore plein d’années plus tard, Benjamin Charles analyse à peu près tout, et notamment les stats… des newsletters Zero Bullshit et A Free Lunch, mais aussi des posts LinkedIn. En regardant les nombres de likes, il s’aperçoit qu’une grosse partie commençait par 1. Après tout c’est logique, puisqu’il y a à la fois les 1x et les 1xx. Pareil pour les impressions, sauf que là, les premiers chiffres apparaissent de 1 le plus fréquent, à 9 le moins fréquent. Là encore, ça peut sembler logique par la double présence du 1, et la difficulté d’avoir de plus en plus d’impressions.
Mais il3 se rappelle qu’il s’était déjà fait la remarque en regardant ses notes de frais. Grâce à Dougs (à qui il a oublié de demander d’être sponsor cette newsletter), il extrait ses données comptables et découvre une étrange distribution. Qu’il teste ensuite sur la population des villes ou les longueurs des fleuves… Le miracle.
La loi de Benford appliquée aux chiffres INSEE des 36’000 communes françaises.
À l'époque, les découvertes restent confinées aux cercles académiques de mathématiciens. Benford publia ses résultats en 1938 dans les Proceedings of the American Philosophical Society, mais son travail ne suscita qu'un intérêt limité. Il faudrait attendre des décennies pour que son potentiel pratique soit reconnu.